Tính Đạo Hàm Bằng Định Nghĩa

      93

1. Định nghĩa đạo hàm

Cho hàm số y = f(x) khẳng định trên khoảng tầm (a;b),x0∈ (a;b). Giới hạn hữu hạn (nếu có) của tỉ số

*
Khi x→x0được call là đạo hàm của hàm số đã mang lại tạix0, kí hiệu là f'(x0) giỏi y'(x0). Nhỏng vậy:

f'(x0) =

*
*
.

Bạn đang xem: Tính đạo hàm bằng định nghĩa

Nếu đặt x - x0=∆x và∆y = f(x0+∆x) - f(x0) thì ta có

f'(x0) =

*
*

Đại lượng∆x được điện thoại tư vấn là số gia của đối số tại x0và đại lượng∆y được Điện thoại tư vấn là số gia tương xứng của hàm số.

2. Quy tắc tính đạo hàm bằng định nghĩa

Bước 1.Với∆x là số gia của số đối tạix0,tính∆y = f(x0+∆x)- f(x0);

Cách 2.Lập tỉ số

*
;

Cách 3.Tính

*
*
.

Nhận xét:ví như rứa x0bởi x ta tất cả có mang cùng nguyên tắc tính đạo hàm của hàm số y = f(x) tại điểm x∈ (a;b).

Xem thêm: Chủ Nghĩa Duy Vật Lịch Sử Là Gì ? Chủ Nghĩa Duy Vật Lịch Sử

3. Quan hệ giữa tính thường xuyên với sự sống thọ đạo hàm

Định lí.Nếu hàm số y = f(x) có đạo hàm trên x0thì nó thường xuyên tạix0.

Chú ý.

Định lí bên trên tương tự với khẳng định : Nếu y = f(x) cách quãng tại x0thì nó không tồn tại đạo hàm tại đặc điểm đó.Mệnh đề đảo của định lí không đúng. Một hàm số thường xuyên trên một điểm có thể không tồn tại đạo hàm trên đặc điểm đó.

4. Ý nghĩa hình học của đạo hàm

Nếu mãi mãi, f'(x0) là hệ số góc của tiếp đường của vật dụng thị hàm số y = f(x) tại điểm M0(x0;f(x0)). Lúc kia phương thơm trình tiếp đường của vật dụng thị trên điểmM0(x0;f(x0)) là

y - f(x0) = f'(x0)(x-x0)

5. Ý nghĩa trang bị lí của đạo hàm

v(t) = s'(t) là vận tốc tức tốc của chuyển động s = s(t) trên thời gian t.

6. Các dạng tân oán cơ phiên bản :

Loại 1 : Tính đạo hàm bằng cách làm :

Ví dụ 1 :

Tính đạo hàm của hàm số(fleft(x ight)=frac1x)trên điểm(x_0=2)

Bài giải :

Giả sử(Delta x)là số gia của đối số tại(x_0=2). Ta gồm :

(Delta y=fleft(2+ Delta x ight)-fleft(2 ight)=frac12+Delta x-frac12=-fracDelta x2left(2+Delta x ight))

(fracDelta yDelta x=-frac12left(2+Delta x ight))

(limlimits_Delta x ightarrow0fracDelta yDelta x=limlimits_Delta x ightarrow0frac-12left(2+Delta x ight)=-frac14)

Vậy(f"left(2 ight)=-frac14)

ví dụ như 2 : Tính đạo hàm hàm số :(y=sqrtx+sqrtx+sqrtx)

Bài giải :

Xét hàm số :(y=sqrtx+sqrtx+sqrtx)ta có(y"=fracleft(x+sqrtx ight)"2sqrtx+sqrtx+frac12sqrtx=frac1+frac12sqrtx2sqrtx+sqrtx+frac12sqrtx)

(=frac1+2sqrtx4sqrtxsqrtx+sqrtx+frac12sqrtx=frac1+2sqrtx+2sqrtx+sqrtx4sqrtxsqrtx+sqrtx)

Loại 2 : Chứng minh những đẳng thức về đạo hàm :

lấy một ví dụ 1:

Cho(y=e^-x.sin x),minh chứng hệ thức(y"+2y"+2y=0)

Bài giải :

Ta có(y"=-e^-x.sin x+e^-x.cos x)

(y"=e^-x.sin x-e^-x.cos x-e^-x.cos x-e^-x.sin x=-2e^-x.cos x)

Vậy(y"+2y"+2y=-2.e^-x.cos x--2.e^-x.sin x+2.e^-x.cos x+2.e^-x.sin x=0)

ví dụ như 2 :

Cho(y=frac12x^2e^x),chứng minh hệ thức(y"-2"+y=e^x)

Bài giải :

Ta gồm :(y"=xe^x+frac12x^2e^x)

(y"=e^x+xe^x+xe^x+frac12x^2e^x=e^x+3xe^x+frac12x^2e^x)

Lúc kia :(y"+2y"+y=e^x+2xe^x+frac12x^2e^x-x^2e^x+frac12x^2e^x=e^x)

lấy ví dụ như 3 : Cho(y=sqrt2x+x^2), chứng tỏ rằng ta có hệ thức(y^3y"+1=0)

Bài giải :

Ta gồm :(y"=frac2+2x2sqrt2x+x^2=frac1+xsqrt2x+x^2)

(y"=fracsqrt2x+x^2-left(1+x ight)frac1+xsqrt2x+x^22x+x^2=frac2x+x^2-left(1+x ight)^22x+x^2sqrt2x+x^2=frac-12x+x^2sqrt2x+x^2)

Ta có :(y^3y"+1=left(2x+x^2 ight)sqrt2x+x^2left(frac-1left(2x+x^2 ight)sqrt2x+x^2 ight)+1=0)

Loại 3 : Phương trình cùng bất phương trình gồm đạo hàm

lấy ví dụ 1:Cho(fleft(x ight)=x^3ln x),giải pmùi hương trình :

(f"left(x ight)-frac1xfleft(x ight)=0)(1)

Bài giải :

Ta có(fleft(x ight)=3x^2ln x+x^3.frac1x=3x^2ln x+x^2)

Vậy (1)(Leftrightarrow3x^2ln x+x^2-x^2ln x=0)

(Leftrightarrow2x^2ln x+x^2=0)

(Leftrightarrow x^2left(2ln x+1 ight)=0) (2)

Rõ ràng(x>0)là điều kiện mãi mãi phương thơm trình phải :

(left(2 ight)Leftrightarrow2ln x+1=0)

(Leftrightarrowln x=-frac12)

(Leftrightarrow x=frac1e^frac12=frac1sqrte)

lấy một ví dụ 2 :

Cho(fleft(x ight)=2x^2cos^2fracx2)và(gleft(x ight)=x-x^2sin x). Giải phương thơm trình(fleft(x ight)=gleft(x ight))(1)​

Bài giải :

Ta tất cả :(f"left(x ight)=4xcos^2fracx2+2x^2cosfrac12left(-frac12sinfracx2 ight)=4xcos^2fracx2-x^2sin x)

Vậy (1)(Leftrightarrow4xcos^2fracx2-x^2sin x=x-x^2sin x)

(Leftrightarrow4xcos^2fracx2=x)

(Leftrightarrowleft<eginarraynghiemptx=0\cos^2fracx2=frac14endarray ight.)(Leftrightarrowleft<eginarraynghiemptx=0\1+cos x=frac12endarray ight.)(Leftrightarrowleft<eginarraynghiemptx=0\cos x=-frac12endarray ight.)(Leftrightarrowleft<eginarraynghiemptx=0\x=pmfrac2pi3+k2pi,kin Zendarray ight.)

ví dụ như 3 : Cho(fleft(x ight)=2x^3+12x^2)và(gleft(x ight)=9x^2+72x), giải phương thơm trình(f"left(x ight)+g"left(x ight)le0)

Bài giải :

Ta tất cả :(f"left(x ight)=6x^2+24x)

(g"left(x ight)=18x+72)

Lúc đó (1)(Leftrightarrow6x^2+24x+18+72le0)

(Leftrightarrow x^2+7x+12le0)

(Leftrightarrow-4le xle-3)

Loại 4 : Đạo hàm cao cấp :

lấy ví dụ :Cho(fleft(x ight)=frac5x-3x^2-3x+2); tìm(f^left(n ight)left(x ight))

Bài giải :

Ta hãy tìm A, B sao cho :(frac5x-3x^2-3x+2=frac5x-3left(x-1 ight)left(x-2 ight)=fracAx-1+fracBx-2)(1)

Từ (1) ta có(5x-3=Aleft(x-2 ight)+Bleft(x-1 ight)=xleft(A+B ight)-left(2A+B ight))

(RightarrowegincasesA+B=5\2A+B=3endcases)(RightarrowegincasesA=-2\B=7endcases)

Vậy(fleft(x ight)=frac5x-3x^2-3x+2=frac-2left(x-1 ight)+frac7left(x-2 ight))

(Rightarrow f^left(n ight)left(x ight)=-2left(frac1x-1 ight)^left(n ight)+7left(frac1x-2 ight)^left(n ight))

Từ ví dụ bên trên, suy ra :

(f^left(n ight)left(x ight)=7left(-1 ight)^nn!frac1left(x-2 ight)^n+1-2left(-1 ight)n!frac1left(x-1 ight)^n+1=left(-1 ight)^nn!left)

Loại 5 : Bài toán thù áp dụng định nghĩa đạo hàm :

lấy ví dụ 1 :Cho hàm số(fleft(x ight)=egincasesfrac1-cos xx;x e0\2;x=0endcases)bao gồm trường thọ đạo hàm(fleft(x ight))tại(x=0)hay không ?

Bài giải :

Ta gồm :(limlimits_x ightarrow0fleft(x ight)=limlimits_x ightarrow0frac1-cos xx=limlimits_x ightarrow0frac2sin^2fracx2x)

(=limlimits_x ightarrow0fracsinfracx2fracx2.limlimits_x ightarrow0sinfracx2=1.0=0)

Do đó(limlimits_x ightarrow0fleft(x ight) e fleft(0 ight)) vậy(fleft(x ight))là hàm số không liên tiếp tại(x=0)suy ra(fleft(x ight))không tồn tại đạo hàm trên x = 0 (không vừa lòng điều kiện cần)

lấy ví dụ như 2 : Cho hàm số(fleft(x ight))xác minh bên trên R và thỏa mãn nhu cầu.

(left(fleft(x ight)-fleft(y ight) ight)^2leleft|x-y ight|^3),mọi(x,yin R)

Chứng minch rằng hàm số(fleft(x ight))gồm đạo hàm trên R

Bài giải :

Lấy(x_0)tùy ý ở trong R. Từ mang thiết ta tất cả :

(left(fleft(x_0+Delta x ight)-fleft(x_0 ight) ight)^2leleft|x_0+Delta x-x_0 ight|^3)

(Leftrightarrowleft(fracfleft(x_0+Delta x ight)-fleft(x_0 ight)Delta x ight)^2leleft|Delta x ight|)

(Leftrightarrow-sqrtleftlefracfleft(x_0+Delta x ight)-fleft(x_0 ight)Delta xlesqrtDelta x ight)

Do(limlimits_Delta x ightarrow xsqrtDelta x ight=limlimits_Delta x ightarrow xleft(-sqrtleft ight)=0)yêu cầu theo "nguyên ổn lí kép" ta có

(limlimits_Delta x ightarrow0fracfleft(x_0+Delta x ight)-fleft(x_0 ight)Delta x=0)