Biểu Diễn Số Phức Trên Trục Tọa Độ

Kiến thức cơ bản.

Bạn đang xem: Biểu diễn số phức trên trục tọa độ

Biểu diễn hình học: Số phức z = a + bi (a, b được biểu diễn bởi điểm M(a; b) trong mp(Oxy) (mp phức)

Trong dạng này, ta gặp các bài toán biểu diễn hình học của số phức hay còn gọi là tìm tập hợp điểm biểu diễn một số phức z trong đó số phức z thỏa mãn một hệ thức nào đó (thường là hệ thức liên quan đến môđun của số phức). Khi đó ta giải bài toán này như sau:

Giả sử z = x+yi (x, y ∈ R). Khi đó số phức z biểu diễn trên mặt phẳng phức bởi điểm M(x;y). Sử dụng dữ kiện của đề bài để tìm mối liên hệ giữa x và y từ đó suy ra tập hợp điểm M.

Kĩ năng cơ bản.

Tìm điểm biểu diễn của số phức z thỏa mãn điều kiện cho trước:

+ Số phức z = a + bi (a, b ) được biểu diễn bởi M(a; b) trong mặt phẳng toạ độ Oxy hay còn gọi là mặt phẳng phức.

+ Trục Ox biểu diễn các số thực gọi là trục thực, trục Oy biểu diễn các số ảo gọi là trục ảo

+ Số phức z = a + bi (a, b ) cũng được biểu diễn bởi vectơ $\overrightarrow{u}=(a;b)$, do đó M(a; b) là điểm biểu diễn của số phức z = a + bi (a, b $\in \mathbb{R}$) cũng có nghĩa là $\overrightarrow{OM}$ biểu diễn số phức đó.

Ta có: Nếu $\overrightarrow{u},\overrightarrow{v}$ theo thứ tự biểu diễn các số phức z, z’ thì

$\overrightarrow{u}+\overrightarrow{v}$ biểu diễn số phức z + z’,

$\overrightarrow{u}-\overrightarrow{v}$ biểu diễn số phức z – z’,

k$\overrightarrow{u}\text{ }(k\in \mathbb{R})$ biểu diễn số phức kz,

$\left| \overrightarrow{OM} \right|=\left| \overrightarrow{u} \right|=\left| z \right|$, với M là điểm biểu diễn của z.

Bài tập luyện tập.

Bài 1: Tìm điểm biểu diễn của số phức z biết:

a) Điểm biểu diễn số phức $z=2-3i$có tọa độ là:: $\left(2;-3 \right)$.

b)Điểm biểu diễn số phức $z=-2i$ có tọa độ là: $\left(0;-2 \right)$

c) Cho số phức $z=6+7i$. Số phức liên hợp của $z$ có điểm biểu diễn là: $\left(6;-7 \right)$.

d)Điểm biểu diễn của số phức $z=\frac{1}{2-3i}$ là: $\left(\frac{2}{13};\,\,\frac{3}{13} \right)$.

e) Cho số phức$z=2016-2017i$. Số phức đối của $z$là $-Z=-2016+2017i$ có điểm biểu diễn là: $\left(-2016;\ 2017 \right)$

f) Cho số phức$z=2017-2018i$. Số phức liên hợp $\overline{z}=2017+2018i$có điểm biểu diễn là điểm có tọa độ $\left(2017;\ 2018 \right)$.

Xem thêm: Xác Định Nếu A Và B Là Các Biến Cố Xung Khắc Là Gì ?Tổ Hợp,Xác Suất,Quy Tắc Đếm

g)Điểm biểu diễn số phức $z=\frac{(2-3i)(4-i)}{3+2i}=-1-4i$ có tọa độ là $\left(-1;-4 \right)$.

h)Trong mặt phẳng 0xy, điểm biểu diễn của số phức $z=\frac{{{i}^{2016}}}{{{(1+2i)}^{2}}}$là điểm nào?

$z=\frac{{{i}^{2018}}}{{{(1+2i)}^{2}}}=\frac{{{i}^{4.504+2}}}{(-3+4i)}=\frac{{{i}^{2}}}{(-3+4i)}=\frac{-1}{(-3+4i)}=\frac{3}{25}+\frac{4}{25}i$

Điểm biểu diễn của số phức $z=\frac{{{i}^{2016}}}{{{(1+2i)}^{2}}}$là điểm $\left(\frac{3}{25};\frac{4}{25} \right)$.

Bài 2: Cho số phức z = 1+ 3i và số phức z’ = 2 + i. Hãy:

a) Biểu diễn số phức z và z’ trên mp phức.

b) Biểu diễn số phức z + z’ và z’ – z trên mp phức.

Giải:

a) Biểu diễn số phức z = 1 + 3i là điểm M(1;3)

Biểu diễn số phức z’ = 2 + i là điểm M’(2;1)

b) z + z’ = 3 + 4i, biểu diễn trên mp phức bởi P(3;4

z’ – z = 1 – 2i, biểu diễn trên mp phức bởi Q(1;-2).

Bài 3: Tập hợp số phức z trên hệ tọa độ phức mà thỏa mãn $|z+1-i|=|z-1+2i$

Giả sử z = a + bi (a,b ∈ℝ). Ta có

\(\left| {z + 1 – i} \right| = \left| {z – 1 + 2i} \right| \Leftrightarrow \left| {(a + 1) + (b – 1)i} \right| = \left| {(a – 1) + (b + 2)i} \right|\)

\(\Leftrightarrow {(a + 1)^2} + {(b – 1)^2} = {(a – 1)^2} + {(b + 2)^2}\)

\(\Leftrightarrow 4a – 6b – 3 = 0\)

Vậy phương trình đường thẳng cần tìm là 4x – 6y – 3 = 0

Bài 4: Tập hợp số phức z trên hệ tọa độ phức mà thỏa mãn $|z+3i−2|=10$

Mỗi số phức $z = x+yi$ được biểu diễn bởi một điểm (x;y). Do đó ta có tập số phức z thỏa mãn là:$|x+3i+yi−2|=10⇔(x−2)^2+(y+3)^2=100$ là đường tròn Tâm I(2,-3), bán kính R=10

Bài 5:  Tập hợp số phức z trên hệ tọa độ phức mà thỏa mãn $\left| z-3i \right|+ \left| i\bar{z}+3 \right|=10$.

Gọi $z=x+yi$

Theo bài ra ta có $\sqrt{x^2 +(y-3)^2} +\sqrt{(y+3)^2+ x^2} =10$

$\Rightarrow x^2 +(y-3)^2 =100 + (y+3)^2+ x^2 -20 \sqrt{(y+3)^2+ x^2} $

$\Rightarrow 10 \sqrt{(y+3)^2+ x^2} =50+6y$

$\Rightarrow 25x^2 +16y^2 =400$

Tập hợp các điểm trong mp tọa độ $Oxy$ biểu diễn số phức bài ra là Elip có phương trình

$(E): \dfrac{x^2}{16} +\dfrac{y^2}{25} =1$

Bài 6: Tìm tập hợp các điểm biểu diễn của số phức z sao cho $u=\frac{z+2+3i}{z-i}$ là một số thuần ảo.

Giải

Đặt z= x+ yi (x, y $\in R$), khi đó:

$u=\frac{\left(x+2 \right)+\left(y+3 \right)i}{x+\left(y-1 \right)i}=\frac{\left< \left(x+2 \right)+\left(y+3 \right)i \right>\left< x-\left(y-1 \right)i \right>}{{{x}^{2}}+{{\left(y-1 \right)}^{2}}}$

$=\frac{\left({{x}^{2}}+{{y}^{2}}+2x+2y-3 \right)+2\left(2x-y+1 \right)i}{{{x}^{2}}+{{\left(y-1 \right)}^{2}}}$

u là số thuần ảo khi và chỉ khi

$\left\{ \begin{align}{{x}^{2}}+{{y}^{2}}+2x+2y-3=0 \\{{x}^{2}}+{{\left(y-1 \right)}^{2}}>0 \\\end{align} \right.$$\Leftrightarrow \left\{ \begin{align}{{\left(x+1 \right)}^{2}}+{{\left(y+1 \right)}^{2}}=5 \\\left(x;y \right)\ne \left(0;1 \right) \\\end{align} \right.$

Vậy tập hợp các điểm biểu diễn của z là đường tròn tâm I(-1;-1), bán kính $\sqrt{5}$ trừ điểm (0;1)

Đặt z= x+ yi (x,y $\in R$)

Ta có:

$\begin{align}\left| z-i \right|=\left| \left(1+i \right)z \right|\Leftrightarrow \left| x+\left(y-1 \right)i \right|=\left| \left(x-y \right)+\left(x+y \right)i \right| \\\Leftrightarrow {{x}^{2}}+{{\left(y-1 \right)}^{2}}={{\left(x-y \right)}^{2}}+{{\left(x+y \right)}^{2}} \\\end{align}$$\Leftrightarrow {{x}^{2}}+{{y}^{2}}+2xy-1=0\Leftrightarrow {{x}^{2}}+{{\left(y+1 \right)}^{2}}=2$

Vậy tập hợp các điểm M biểu diễn các số phức z là đường tròn có phương trình ${{x}^{2}}+{{\left(y+1 \right)}^{2}}=2$

Bài 8: (Vận dụng)Trong các số phức z thỏa mãn điều kiện $\left| z-2-4i \right|=\left| z-2i \right|$.Tìm số phức z có môđun nhỏ nhất.

Giả sử số phức z cần tìm có dạng z = x + yi (x,y Î R) được biểu diễn bởi điểm M(x;y).

Ta có$\left| x-2+(y-4)i \right|=\left| x+(y-2)i \right|$ (1) $\Leftrightarrow \sqrt{{{(x-2)}^{2}}+{{(y-4)}^{2}}}=\sqrt{{{x}^{2}}+{{(y-2)}^{2}}}$

$\Leftrightarrow y=-x+4$. Do đó tập hợp các điểm M biểu diễn cho các số phức z thỏa mãn (1) là đường thẳng x + y = 4. Mặt khác $\left| z \right|=\sqrt{{{x}^{2}}+{{y}^{2}}}=\sqrt{{{x}^{2}}+{{x}^{2}}-8x+16}=\sqrt{2{{x}^{2}}-8x+16}$

Hay $\left| z \right|=\sqrt{2{{\left(x-2 \right)}^{2}}+8}\ge 2\sqrt{2}$

Do đó ${{\left| z \right|}_{\min }}\Leftrightarrow x=2\Rightarrow y=2$. Vậy $z=2+2i$

Bài 9: (Vận dụng) Biết rằng số phức z thỏa mãn $u=\left(z+3-i \right)\left(\overline{z}+1+3i \right)$là một số thực. Tìm giá trị nhỏ nhất của $\left| z \right|$.

Giải

Đặt z= x+ yi (x, y $\in R$) ta có

$u=\left< \left(x+3 \right)+\left(y-1 \right)i \right>\left< \left(x+1 \right)-\left(y-3 \right)i \right>={{x}^{2}}+{{y}^{2}}+4x-4y+6+2\left(x–y-4 \right)i$

Ta có: $u\in R\Leftrightarrow x-y-4=0$

Tập hợp các điểm biểu diễn của z là đường thẳng d: x-y-4=0, M(x;y) là điểm biểu diễn của z thì mô đun của z nhỏ nhất khi và chỉ khi độ dài OM nhỏ nhất $\Leftrightarrow OM\bot d$ Tìm được M(-2;2) suy ra z=-2+2i.

Bài 10: (Vận dụng)Tìm số phức Z có mô đun lớn nhất và thỏa mãn điều kiện $\left| \overline{z}\left(1+i \right)-3+2i \right|=\frac{\sqrt{13}}{2}$

Giải

Gọi $z=x+yi(x,y\in R)\Rightarrow \bar{z}=x-yi$

$\left| \bar{z}\left. (1+i)-3+2i \right| \right.=\frac{\sqrt{13}}{2}\Leftrightarrow {{x}^{2}}+{{y}^{2}}-x-5y+\frac{39}{8}=0$

Gọi M (x;y) là điểm biểu diễn của z trong mặt phẳng tọa độ Oxy$\Rightarrow M\in (C)$là đường tròn có tâm $I(\frac{1}{2};\frac{5}{2})$và bán kính $R=\frac{\sqrt{26}}{4}$