Biểu Diễn Số Phức Trên Trục Tọa Độ

      255

Kiến thức cơ bản.

Bạn đang xem: Biểu diễn số phức trên trục tọa độ

Biểu diễn hình học: Số phức z = a + bi (a, b được biểu diễn bởi điểm M(a; b) trong mp(Oxy) (mp phức)

*

Trong dạng này, ta gặp các bài toán biểu diễn hình học của số phức hay còn gọi là tìm tập hợp điểm biểu diễn một số phức z trong đó số phức z thỏa mãn một hệ thức nào đó (thường là hệ thức liên quan đến môđun của số phức). Khi đó ta giải bài toán này như sau:

Giả sử z = x+yi (x, y ∈ R). Khi đó số phức z biểu diễn trên mặt phẳng phức bởi điểm M(x;y). Sử dụng dữ kiện của đề bài để tìm mối liên hệ giữa x và y từ đó suy ra tập hợp điểm M.

Kĩ năng cơ bản.

Tìm điểm biểu diễn của số phức z thỏa mãn điều kiện cho trước:

+ Số phức z = a + bi (a, b ) được biểu diễn bởi M(a; b) trong mặt phẳng toạ độ Oxy hay còn gọi là mặt phẳng phức.

+ Trục Ox biểu diễn các số thực gọi là trục thực, trục Oy biểu diễn các số ảo gọi là trục ảo

+ Số phức z = a + bi (a, b ) cũng được biểu diễn bởi vectơ $\overrightarrow{u}=(a;b)$, do đó M(a; b) là điểm biểu diễn của số phức z = a + bi (a, b $\in \mathbb{R}$) cũng có nghĩa là $\overrightarrow{OM}$ biểu diễn số phức đó.

Ta có: Nếu $\overrightarrow{u},\overrightarrow{v}$ theo thứ tự biểu diễn các số phức z, z’ thì

$\overrightarrow{u}+\overrightarrow{v}$ biểu diễn số phức z + z’,

$\overrightarrow{u}-\overrightarrow{v}$ biểu diễn số phức z – z’,

k$\overrightarrow{u}\text{ }(k\in \mathbb{R})$ biểu diễn số phức kz,

$\left| \overrightarrow{OM} \right|=\left| \overrightarrow{u} \right|=\left| z \right|$, với M là điểm biểu diễn của z.

Bài tập luyện tập.

Bài 1: Tìm điểm biểu diễn của số phức z biết:

a) Điểm biểu diễn số phức $z=2-3i$có tọa độ là:: $\left(2;-3 \right)$.

b)Điểm biểu diễn số phức $z=-2i$ có tọa độ là: $\left(0;-2 \right)$

c) Cho số phức $z=6+7i$. Số phức liên hợp của $z$ có điểm biểu diễn là: $\left(6;-7 \right)$.

d)Điểm biểu diễn của số phức $z=\frac{1}{2-3i}$ là: $\left(\frac{2}{13};\,\,\frac{3}{13} \right)$.

e) Cho số phức$z=2016-2017i$. Số phức đối của $z$là $-Z=-2016+2017i$ có điểm biểu diễn là: $\left(-2016;\ 2017 \right)$

f) Cho số phức$z=2017-2018i$. Số phức liên hợp $\overline{z}=2017+2018i$có điểm biểu diễn là điểm có tọa độ $\left(2017;\ 2018 \right)$.

Xem thêm: Xác Định Nếu A Và B Là Các Biến Cố Xung Khắc Là Gì ?Tổ Hợp,Xác Suất,Quy Tắc Đếm

g)Điểm biểu diễn số phức $z=\frac{(2-3i)(4-i)}{3+2i}=-1-4i$ có tọa độ là $\left(-1;-4 \right)$.

h)Trong mặt phẳng 0xy, điểm biểu diễn của số phức $z=\frac{{{i}^{2016}}}{{{(1+2i)}^{2}}}$là điểm nào?

$z=\frac{{{i}^{2018}}}{{{(1+2i)}^{2}}}=\frac{{{i}^{4.504+2}}}{(-3+4i)}=\frac{{{i}^{2}}}{(-3+4i)}=\frac{-1}{(-3+4i)}=\frac{3}{25}+\frac{4}{25}i$

Điểm biểu diễn của số phức $z=\frac{{{i}^{2016}}}{{{(1+2i)}^{2}}}$là điểm $\left(\frac{3}{25};\frac{4}{25} \right)$.

Bài 2: Cho số phức z = 1+ 3i và số phức z’ = 2 + i. Hãy:

a) Biểu diễn số phức z và z’ trên mp phức.

b) Biểu diễn số phức z + z’ và z’ – z trên mp phức.

Giải:

*

a) Biểu diễn số phức z = 1 + 3i là điểm M(1;3)

Biểu diễn số phức z’ = 2 + i là điểm M’(2;1)

b) z + z’ = 3 + 4i, biểu diễn trên mp phức bởi P(3;4

z’ – z = 1 – 2i, biểu diễn trên mp phức bởi Q(1;-2).

Bài 3: Tập hợp số phức z trên hệ tọa độ phức mà thỏa mãn $|z+1-i|=|z-1+2i$

Giả sử z = a + bi (a,b ∈ℝ). Ta có

\(\left| {z + 1 – i} \right| = \left| {z – 1 + 2i} \right| \Leftrightarrow \left| {(a + 1) + (b – 1)i} \right| = \left| {(a – 1) + (b + 2)i} \right|\)

\(\Leftrightarrow {(a + 1)^2} + {(b – 1)^2} = {(a – 1)^2} + {(b + 2)^2}\)

\(\Leftrightarrow 4a – 6b – 3 = 0\)

Vậy phương trình đường thẳng cần tìm là 4x – 6y – 3 = 0

 

Bài 4: Tập hợp số phức z trên hệ tọa độ phức mà thỏa mãn $|z+3i−2|=10$

Mỗi số phức $z = x+yi$ được biểu diễn bởi một điểm (x;y). Do đó ta có tập số phức z thỏa mãn là:$|x+3i+yi−2|=10⇔(x−2)^2+(y+3)^2=100$ là đường tròn Tâm I(2,-3), bán kính R=10

Bài 5:  Tập hợp số phức z trên hệ tọa độ phức mà thỏa mãn $\left| z-3i \right|+ \left| i\bar{z}+3 \right|=10$.

Gọi $z=x+yi$

Theo bài ra ta có $\sqrt{x^2 +(y-3)^2} +\sqrt{(y+3)^2+ x^2} =10$

$\Rightarrow x^2 +(y-3)^2 =100 + (y+3)^2+ x^2 -20 \sqrt{(y+3)^2+ x^2} $

$\Rightarrow 10 \sqrt{(y+3)^2+ x^2} =50+6y$

$\Rightarrow 25x^2 +16y^2 =400$

Tập hợp các điểm trong mp tọa độ $Oxy$ biểu diễn số phức bài ra là Elip có phương trình

$(E): \dfrac{x^2}{16} +\dfrac{y^2}{25} =1$

Bài 6: Tìm tập hợp các điểm biểu diễn của số phức z sao cho $u=\frac{z+2+3i}{z-i}$ là một số thuần ảo.

Giải

Đặt z= x+ yi (x, y $\in R$), khi đó:

$u=\frac{\left(x+2 \right)+\left(y+3 \right)i}{x+\left(y-1 \right)i}=\frac{\left< \left(x+2 \right)+\left(y+3 \right)i \right>\left< x-\left(y-1 \right)i \right>}{{{x}^{2}}+{{\left(y-1 \right)}^{2}}}$

$=\frac{\left({{x}^{2}}+{{y}^{2}}+2x+2y-3 \right)+2\left(2x-y+1 \right)i}{{{x}^{2}}+{{\left(y-1 \right)}^{2}}}$

u là số thuần ảo khi và chỉ khi

$\left\{ \begin{align}{{x}^{2}}+{{y}^{2}}+2x+2y-3=0 \\{{x}^{2}}+{{\left(y-1 \right)}^{2}}>0 \\\end{align} \right.$$\Leftrightarrow \left\{ \begin{align}{{\left(x+1 \right)}^{2}}+{{\left(y+1 \right)}^{2}}=5 \\\left(x;y \right)\ne \left(0;1 \right) \\\end{align} \right.$

Vậy tập hợp các điểm biểu diễn của z là đường tròn tâm I(-1;-1), bán kính $\sqrt{5}$ trừ điểm (0;1)

Bài 7: Trong mặt phẳng Oxy, tìm tập hợp điểm biểu diễn các số phức z thỏa mãn

$\left| z-i \right|=\left| \left(1+i \right)z \right|$

Giải:

Đặt z= x+ yi (x,y $\in R$)

Ta có:

$\begin{align}\left| z-i \right|=\left| \left(1+i \right)z \right|\Leftrightarrow \left| x+\left(y-1 \right)i \right|=\left| \left(x-y \right)+\left(x+y \right)i \right| \\\Leftrightarrow {{x}^{2}}+{{\left(y-1 \right)}^{2}}={{\left(x-y \right)}^{2}}+{{\left(x+y \right)}^{2}} \\\end{align}$$\Leftrightarrow {{x}^{2}}+{{y}^{2}}+2xy-1=0\Leftrightarrow {{x}^{2}}+{{\left(y+1 \right)}^{2}}=2$

Vậy tập hợp các điểm M biểu diễn các số phức z là đường tròn có phương trình ${{x}^{2}}+{{\left(y+1 \right)}^{2}}=2$

Bài 8: (Vận dụng)Trong các số phức z thỏa mãn điều kiện $\left| z-2-4i \right|=\left| z-2i \right|$.Tìm số phức z có môđun nhỏ nhất.

Giả sử số phức z cần tìm có dạng z = x + yi (x,y Î R) được biểu diễn bởi điểm M(x;y).

Ta có$\left| x-2+(y-4)i \right|=\left| x+(y-2)i \right|$ (1) $\Leftrightarrow \sqrt{{{(x-2)}^{2}}+{{(y-4)}^{2}}}=\sqrt{{{x}^{2}}+{{(y-2)}^{2}}}$

$\Leftrightarrow y=-x+4$. Do đó tập hợp các điểm M biểu diễn cho các số phức z thỏa mãn (1) là đường thẳng x + y = 4. Mặt khác $\left| z \right|=\sqrt{{{x}^{2}}+{{y}^{2}}}=\sqrt{{{x}^{2}}+{{x}^{2}}-8x+16}=\sqrt{2{{x}^{2}}-8x+16}$

Hay $\left| z \right|=\sqrt{2{{\left(x-2 \right)}^{2}}+8}\ge 2\sqrt{2}$

Do đó ${{\left| z \right|}_{\min }}\Leftrightarrow x=2\Rightarrow y=2$. Vậy $z=2+2i$

Bài 9: (Vận dụng) Biết rằng số phức z thỏa mãn $u=\left(z+3-i \right)\left(\overline{z}+1+3i \right)$là một số thực. Tìm giá trị nhỏ nhất của $\left| z \right|$.

Giải

Đặt z= x+ yi (x, y $\in R$) ta có

$u=\left< \left(x+3 \right)+\left(y-1 \right)i \right>\left< \left(x+1 \right)-\left(y-3 \right)i \right>={{x}^{2}}+{{y}^{2}}+4x-4y+6+2\left(x–y-4 \right)i$

Ta có: $u\in R\Leftrightarrow x-y-4=0$

Tập hợp các điểm biểu diễn của z là đường thẳng d: x-y-4=0, M(x;y) là điểm biểu diễn của z thì mô đun của z nhỏ nhất khi và chỉ khi độ dài OM nhỏ nhất $\Leftrightarrow OM\bot d$ Tìm được M(-2;2) suy ra z=-2+2i.

Bài 10: (Vận dụng)Tìm số phức Z có mô đun lớn nhất và thỏa mãn điều kiện $\left| \overline{z}\left(1+i \right)-3+2i \right|=\frac{\sqrt{13}}{2}$

Giải

Gọi $z=x+yi(x,y\in R)\Rightarrow \bar{z}=x-yi$

$\left| \bar{z}\left. (1+i)-3+2i \right| \right.=\frac{\sqrt{13}}{2}\Leftrightarrow {{x}^{2}}+{{y}^{2}}-x-5y+\frac{39}{8}=0$

Gọi M (x;y) là điểm biểu diễn của z trong mặt phẳng tọa độ Oxy$\Rightarrow M\in (C)$là đường tròn có tâm $I(\frac{1}{2};\frac{5}{2})$và bán kính $R=\frac{\sqrt{26}}{4}$